一年级数学专题小结

（一）圆的标准方程

1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。

2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为。

说明：

（1）上式称为圆的标准方程。

（2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是。

（3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即圆心为（a，b），半径为r。

（4）确定圆的条件

由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。

（5）点与圆的位置关系的判定

若点m（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即

；

若点m（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即

；

3. 几种特殊位置的圆的方程

（二）圆的一般方程

任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

①

将①配方得：

②

当时，方程①表示以（）为圆心，以为半径的圆；

当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（）；

当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。

故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于0；

（2）没有xy这样的二次项。

以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

要求出圆的一般方程，只要求出三个系数d、e、f就可以了。

（三）直线和圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系

研究直线与圆的位置关系有两种方法：

（l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。

d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d<r直线与圆相交。

（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为δ。

△＜0直线与圆相离；△＝0直线与圆相切；△＞0直线与圆相交。

说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。

2. 圆的切线方程

（1）过圆上一点的切线方程是；

（2）过圆上一点的切线方程是

；

（3）过圆上一点的切线方程是

3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题

（1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。

（2）求切线方程。若已知切点m（x0，y0），则切线方程为

；

若已知切线上一点n（x0，y0），则可设切线方程为，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。

（3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为